В простейшем случае достаточно определить изображение как распределение некоторой величины В на части поверхности или, иными словами, как функцию В (x, y), где независимые переменные x и y могут изменяться в заданных пределах. При этом под В можно понимать яркость, освещенность, плотность тока в электронных пучках, величину возбуждения нервной клетки.
В более сложных случаях изображения будут представлены функцией трех независимых переменных В (х, у, t) (подвижные изображения) или несколькими функциями этих переменных (объемные, цветные изображения).
Даже если В (x, y) является непрерывной функцией, реальные изображения всегда можно разбить на конечное число дискретных элементов. В частности, так обстоит дело в случаях, когда изображение создается оптическим прибором, например оптической системой глаза. В таких случаях из-за конечной разрешающей способности оптического прибора можно говорить лишь о некотором среднем значении яркости внутри элементов, сравнимых по величине с кружком рассеивания. Рассмотрим это несколько подробнее.
Пусть для измерения разрешающей способности оптического прибора, создающего непрерывные изображения, будет использована мира, в которой изменение яркости происходит по синусоидальному закону
Распределение яркости в такой оптической мире показано на рис. 24. Входящий в формулу (26) параметр v = 1/a , который можно назвать частотой, равен числу темных (или белых) штрихов на единицу длины.
Рис. 24. Распределение яркости в «синусоидальной» оптической мире.
Разрешающей способностью W назовем то максимальное число штрихов vмакс, приходящееся на единицу длины, которое еще может быть разрешено прибором.
Вначале упрощенно предположим, что контраст изображения синусоидальной миры,* воспроизводимого оптическим прибором, остается постоянным, пока v≤W, и становится равным нулю, как только v превзойдет W. Тогда может быть использована важная теорема, установленная применительно к теории связи Котельниковым (1933). Она сводится в рассматриваемом случае к утверждению, что вдоль оси х изображение, созданное оптической системой с указанным ограничением разрешающей способности, может быть однозначно задано значениями яркости только в точках, следующих одна за другой через интервалы, равные 1/2W (рис. 25). Во всех остальных точках на этой линии яркость определится указанными дискретными отсчетами. При формировании изображения оптической системой с ограниченной разрешающей способностью происходит как бы сглаживание распределения яркости в исходном изображении. В(х) можно независимо задавать только в точках дискретных отсчетов, а между ними интерполяция кривой распределения яркости В(х) производится единственным образом. На единицу длины придется 2W таких независимых отсчетов.
Такие же рассуждения могут быть проведены и применительно к направлению, параллельному оси y.
Рис. 25. Задание яркости дискретными отсчетами.
Сплошной линией показано распределение яркости вдоль оси в исходном изображении, прерывистой — после оптической системы с ограниченной разрешающей способностью. Отсчеты показаны вертикальными линиями.
Строго говоря, условие полного контраста при v≤W и отсутствия контраста при v>W не выполняется. На самом деле происходит плавное убывание контраста с увеличением v. Однако количество независимых дискретных отсчетов, определенное при этом упрощенном условии, может служить хорошим приближением.**
Таким образом, непрерывное световое изображение сводится к дискретной совокупности значений яркости в точках отсчета. Общее число этих отсчетов, определяющих непрерывное изображение после оптической системы с заданной ограниченной разрешающей способностью, легко находится. Это число дискретных отсчетов, каждый из которых может независимо изменяться, иногда называют числом степеней свободы оптического изображения (Toraldo di Francia, 1955) по аналогии с числом степеней свободы в непрерывном сигнале с ограниченной полосой частот (Shannon a. Weaver, 1949).***
Значения B в реальных изображениях могут быть определены лишь с ограниченной степенью точности. Условимся, что величина В может принимать лишь конечное число значений, которое обозначим через m. **** Величина т в случае обычных оптических изображений имеет смысл числа различимых градаций яркости. Во многих случаях m сразу задается как дискретная величина. Например, в штриховых (графических) изображениях яркость может иметь два значения (белое и черное), т. е. m=2,
* Контраст вычисляется как отношение 
. Эта величина определяет различение.
** Обзор работ, относящихся к теореме Котельникова и условиям ее применения, имеется в статье Харкевича (1958).
*** Это число степеней свободы в сигнале, имеющем длительность Т и ширину полосы частот W, равно 2WT — числу независимых отсчетов, которые, согласно теореме Котельникова, полностью определяют этот сигнал.
***** Мы оставляем в стороне сложный вопрос о количестве информации в непрерывном сигнале, известном с ограниченной степенью точности (Колмогоров, 1956).